３．１ 過渡現象について
定常状態は、ある動的な現象（流体の流れ、熱の伝導など）が、時間的に変化しない状態のことを指す。電気回路では、電流や電圧が時間的に変化しない、つまり回路にある条件に変化を加えてからしばらく時間が経ち、回路が安定状態に至った後の状態のことを言う。過渡状態は、ある定常状態から別の定常状態へ変化する間での間に起こる、ある系のある点において、その値が時間的に不安定な状態を指し、その期間を過渡期間と呼ぶ。その期間中に起こる現象のことを過渡現象と言う。電気回路では、回路の条件を急変させたとき（スイッチをオン、オフしたとき）、電流や電圧が変化し始め、その変化がある一定の値で落ち着いて他の定常状態に至る間出に起こる現象のことを言う。このほかの定常状態へ至るまでの状態を過渡状態と言い、その期間を過渡期間と言う。
３．２ 微分方程式を用いた解法
電圧ｖ(t)、電流ｉ(t)、抵抗Ｒ、インダクタンスＬ、キャパシタンスＣ、時間ｔのとき、Ｒ、Ｌ、Ｃそれぞれの素子の電流または電圧は、
ｖ(t)＝Ｒｉ(t) … 抵抗Ｒ
ｖ(t)＝Ｌ（ｄｉ(t)）/（ｄｔ） … インダクタンスＬ
ｉ(t)＝Ｃ（ｄｖ(t)）/（ｄｔ） … キャパシタンスＣ
となる。これらを用いてキルヒホッフの法則により電圧、または電流に関する微分方程式を立て、一般解を求め、更に初期条件から定数を決定することが過渡現象解析の基本である。
３．２．１ ＲＬ直列回路
図３．２．１に示すようなＲＬ回路の場合、回路方程式は
Ｒｉ(t)＋Ｌ（ｄｉ(t)）/（ｄｔ）＝Ｅ （３．３）
となる。この微分方程式の解は、Ｅ＝０としたときの解itと、Ｅ≠０としたとき、（３．３）式を満足する一つの特殊解isとの和
i=it+is （３．４）
で表される。ここで、特殊解isは定常状態にすることで簡単に求められるので、そのようにして求めたisを定常解と呼ぶ。その場合、itは過渡状態を表すので過渡解と呼ぶ。定常解isは直流電圧しかない受動回路では、最終的に時間変化がなくなるため、di/dt=0とすればよく、
is=E/R （３．５）
となる。過渡解は
Ｒｉ(t)＋Ｌ（ｄｉ(t)）/（ｄｔ）＝0 （３．６）
の一般解で与えられるので、（３．６）式を解くと、
it＝Ａexp(-(R/L)t) （３．７）
となる。（ただしＡは積分定数）よって、(３．４）式より
i＝E/R＋Ａexp(-(R/L)t) （３．８）
が答えになる。積分定数Ａは、初期条件によって決まる値である。スイッチをＯＦＦからＯＮにした場合、初期状態はｔ＝0、Ｉ＝0なので、
0＝E/R＋Ａ → -E/R＝Ａ （３．９）
よってＡ＝-E/Rとなり、
i＝E/R（1-exp(-(R/L)t)） （３．１０）
となる。
ＲＬ回路において、電流最大値はE/Rである。また、時間ｔへの依存性はL/Rの何倍の値
を持っているかで決まる。この二つで規格化した特性を図３．２．２に示す。ここで特に時間L/Rのことを時定数τと呼び、
i＝E/R（1-exp(-ｔ/τ)） （３．１１）
と表す。ｔ＝τで定常値の63％、5τで99.3％となる。またt=0 で接線を引くと、その接線が定常値の値になるのは、t/τ=1 のときである。
３．２．２ ＲＣ直列回路
３．２．３に示すようなＲＣ直列回路において、スイッチＳをｔ＝０で閉じた直後の過渡状態を回路方程式で表すと、コンデンサに溜まる電荷ｑを時間微分すると電流iとなるので、
Ｒ（dq/dt）+q/Ｃ＝Ｅ （３．１２）
となる。ＲＬ直列回路のときと同様にして解くと、
定常解：qs=CE （３．１３）
過渡解：qt=Aexp(-t/CR) （３．１４）
となる。この回路における時定数τ＝ＣＲ、初期条件ｔ＝０でｑ＝０とすると、
q＝ＣＥ（1-exp（-t/τ）） （３．１５）
q=CVより、
ｖ＝Ｅ（1-exp(-t/τ)） （３．１６）
が導かれる。
３．２．３ ＲＬＣ直列回路
図３．２．４に示すＲＣＬ直列回路において、スイッチＳをｔ＝０で閉じた直後の過渡状態を回路方程式で表すと、
Ｌ（ｄｉ(t)）/（ｄｔ）＋Ｒｉ(t)＋1/Ｃ∫ｉ(t)ｄｔ＝Ｅ （３．１７）
となる。この式の両辺をラプラス変換すると、
Ｖ/s＝Ｌ（sＩ(s)-i(0)）＋ＲＩ(s)＋1/Cs（Ｉ(s)＋q(0)） （３．１８）
q(0)はｔ＝0におけるコンデンサＣの充電電荷で、q(0)＝0、またi(0)はｔ＝0におけるコイルＬの電流でi(0)=0 とすると，I(s)は
Ｉ(s)＝（V/L）/（s^2+sR/L+1/LC） （３．１９）
上式を逆ラプラス変換する。（s^2+sR/L+1/LC）＝(ｓ-α)(ｓ-β)とおき、A/(ｓ-α)+A/(ｓ-β)のＡ、Ｂ、α、βを求めると、
α＝1/2（-R/L+√（(R/L)^2-4/LC）） （３．２０）
β＝1/2（-R/L-√（(R/L)^2-4/LC）） （３．２１）
Ａ＝1/（α-β） （３．２２）
Ｂ＝-1/（α-β） （３．２３）
これらより、過渡電流iは
i(t)＝V/(L(α-β))(e^αt-e^βt) （３．２４）
となる。（ここではα、βの代入は避けた）定常電流isは、ｔ＝∞のとき0となるため、is=0となる。
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